Простыми словами
В задаче оптимизации с ограничениями лучший допустимый результат нельзя улучшить малым сдвигом, не нарушив активные ограничения. Условия KKT связывают градиент цели с градиентами ограничений и показывают, какие ограничения действительно “держат” решение. Они нужны для проверки кандидата, но без выпуклости и условий регулярности не гарантируют глобальный оптимум.
Формальное определение
Для минимизации f(x) при g_i(x)≤0 и h_j(x)=0 условия KKT включают стационарность лагранжиана, допустимость исходной задачи, неотрицательность множителей неравенств и дополняющую нежёсткость λ_i g_i(x)=0. При подходящих квалификациях ограничений они необходимы; в выпуклой задаче при стандартных условиях также достаточны.
Механизм действия
Множители Лагранжа выражают предельную цену активных ограничений. В оптимуме градиент цели компенсируется линейной комбинацией градиентов активных ограничений, а неактивное ограничение получает нулевой множитель.
Пример в работе
Решение принимают без учета механизма «Условия Каруша-Куна-Таккера», оценивая только ближайший эффект.
Перед изменением проверяют, как «Условия Каруша-Куна-Таккера» влияет на ограничения, стимулы, зависимости и вторичные последствия.
Ограничения
Условия необходимы при выполнении ограничительных квалификаций, а для достаточности обычно нужна выпуклость; в невыпуклой задаче они могут описывать лишь стационарную точку.
Источник
Harold W. Kuhn; Albert W. Tucker, “Nonlinear Programming”, 1951.